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Figura geométrica: pentágono

Se conoce como pentágono a la figura geométrica que posee cinco lados. El pentágono es un polígono compuesto por cinco bordes y el mismo numero de ángulos.

¿Qué es un pentágono?

Un polígono es el área de un plano que está delimitado por líneas que deben ser rectas. Dentro de la clasificación de los polígonos según sus lados podemos encontrar al pentágono: un polígono de cinco lados.

La palabra pentágono deriva del griego πεντάγωνον, compuesta por πέντε (que se lee “pénte”) y alude al número cinco, y por γωνία (léase “gōnía”) que significa ángulo. Un pentágono es la figura geométrica que esta compuesta por cinco ángulos.

El pentágono, al igual que otras figuras geométricas, es una de las más estudiadas en las ciencias matemáticas. Además este importante polígono es muy utilizado en las obras de artes, en la construcción y para realizar dibujos técnicos.

Los pentágonos son polígonos, es decir figuras compuestas por varios lados con extremos comunes o también denominados vértices. Cada polígono recibe un nombre en particular dependiendo de su número de lados. En el caso de los pentágonos, cuentan con cinco vértices y cinco ángulos. Cuando sus lados son iguales y sus ángulos internos son congruentes midiendo cada uno de ellos 108° estamos en presencia de un polígono pentágono regular. Su Angulo central se compone por dos líneas que unen el centro con dos vértices consecutivos. Con respecto a la apotema, que es la distancia más pequeña entre el centro y uno de sus lados, se obtiene tomando en cuenta el Angulo central y la longitud de uno de sus cinco lados.  En el caso que sus lados no sean iguales, estamos en presencia de un pentágono irregular.

Características del pentágono

El pentágono es un polígono, es decir una figura geométrica plana, delimitado por cinco lados o segmentos de recta, que se interceptan en cinco puntos no alineados, que son los denominados vértices.  Por lo tanto podemos decir que todos los pentágonos tienen cinco lados, cinco vértices y cinco ángulos tanto interiores como exteriores.

Cuando sumamos los ángulos interiores de un pentágono siempre obtendremos el resultado de 540°. Dependiendo de la medida de sus ángulos interiores, podemos decir que los pentágonos se dividen en cóncavos y convexos:

Pentágonos cóncavos: son aquellos que poseen un Angulo interior obtuso. Este tipo de pentágonos pueden ser regulares o irregulares, dependiendo de la medida de todos sus ángulos y lados.

Pentágonos convexos: son aquellos que no poseen ángulos interiores obtusos, es decir mayores a 180°.

Elementos del pentágono

En la figura geométrica del pentágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Vértices (V): son los puntos en los que confluyen dos lados. El pentágono posee 5 vértices.

-Lados (L): son los segmentos que unen dos vértices consecutivos del pentágono y que delimitan su perímetro. El pentágono posee 5 lados.

Diagonal (D): se denomina diagonal al segmento que une dos vértices que no son consecutivos. Por ejemplo en un pentágono convexo tenemos 5 diagonales.

Ángulos interiores (α): es el ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que se interceptan. Dentro de un pentágono encontramos 5 ángulos interiores. Los ángulos interiores del pentágono suman 540º.

Ángulos exteriores (β): es el ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Dentro de un pentágono encontramos 5 ángulos exteriores.

Tipos de pentágonos

Dependiendo de las características de los lados y de los ángulos de la figura geométrica del pentágono, encontramos la siguiente clasificación.

Pentágono regular

Un pentágono regular posee los cinco lados con la misma longitud cada uno y sus cinco ángulos con la misma graduación. Todos sus ángulos interiores  son de 108°, es por eso que un pentágono regular mide 540 ° (180 x 5)

En resumen podemos decir que un pentágono regular tiene lados y ángulos iguales. El resultado es una figura geométrica plana que se ve equilibrada y uniforme.

Pentágono irregular

El pentágono irregular es una figura geométrica donde sus cinco lados y sus cinco ángulos no son iguales entre si.

En resumen podemos decir que un pentágono irregular es una figura plana de 5 lados con longitudes y ángulos desiguales. El resultad será una figura geométrica con una gran variación posible de combinación de longitudes y ángulos.

Área de un pentágono

Para poder calcular el área de un pentágono primero debemos diferencia si el mismo es regular o irregular.

Área del pentágono regular

El área de un pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema. Para hacer este cálculo se utiliza la formula de este tipo de pentágono, por lo tanto al ser su perímetro cinco veces la longitud de sus lados, la formula será:

Para calcular la apotema de este tipo de pentágono debemos aplicar la siguiente formula:

Aquí podremos ver que α es el ángulo interior de este pentágono regular. De este modo, la formula para calcular el área de un pentágono regular también se puede expresar como:

Área del pentágono irregular

Para poder calcular el área de un pentágono irregular podemos aplicar métodos alternativos de cálculo de áreas. El más simple y común es aplicando el método de triangulación, es decir dividir el pentágono en cinco triángulos y calcular el área por medio de la suma de las cinco áreas de los triángulos.  Para esto  se deben cumplir los siguientes pasos:

  1. Se divide el pentágono en cinco triángulos (T1, T2, T3, T4 y T5), estos triángulos cumplen que uno de sus lados es el lado del pentágono y que todo confluyen en el mismo punto interior del mismo.
  2. Medimos las alturas de estos triángulos (h1, h2…h5). La altura de cada uno de estos triángulos será el segmento de la recta perpendicular al lado del pentágono.
  3. Calculamos las áreas de cada uno de estos cinco triángulos y las sumamos, aplicando la formula:

Otro de los métodos para  calcular el área de este tipo de pentágono es el método de la determinante de Gauss.

Este método supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del pentágono. Luego se elige cualquiera de ellos y se colocan los pares en la formula. El polígono se deberá recorrer en el sentido contrario a las agujas del reloj, considerando que el primer par de coordenadas corresponderán al vértice seleccionado y luego se recorren el resto de los vértices hasta el par de vértice inicial.

Sabiendo que los vértices del pentágono son (x1,y1), (x2,y2),…, (x5,y5), la formula para calcular será la siguiente:

Una vez que resolvamos esta formula podremos saber cual será el área del pentágono irregular.

El método de la determinante de Gauss es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, ya sea en el caso de los polígonos cóncavos como en el caso de los polígonos en los convexos.

Perímetro del pentágono

Del mismo modo que para calcular el área, para poder aplicar la formula de calculo del perímetro del pentágono primero debemos saber si se trata de un pentágono regular o irregular.

Perímetro del pentágono regular

Como sabemos, un pentágono regular tiene los cinco lados iguales, por lo tanto el perímetro del mismo será cinco veces sus lados:

Perímetro del pentágono irregular

Este tipo de pentágono no posee una formula que generalice su perímetro ya que todos sus lados pueden ser distintos, por lo tanto su perímetro será la suma de la longitud de sus cinco lados.