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Figura geométrica: octógono

El día de hoy les enseñaremos todo acerca de la figura geométrica de 8 lados (o ángulos), el octágono. Aquí aprenderán no solo su definición, si no también a calcular su área, diámetro, perímetro, circumradius e inradius, entre muchas otras cosas. Una vez que termine el artículo, compártalo en sus redes sociales favoritas a fin de ayudarnos a seguir creciendo.

Definición de octágono

Lados de un octágono

La definición estándar de un octágono es algo así como: «Un octágono es un polígono con 8 lados que delimitan un área cerrada». Cualquiera con un conocimiento básico del griego debería poder responder fácilmente a la pregunta de cuántos lados tiene un octágono sin ninguna noción de matemáticas. Esto se debe a que «Octo-» en griego significa ocho, por lo que es seguro asumir que un octágono tiene ocho lados o que un pulpo tiene ocho patas.

Nos sumergiremos un poco más en el origen griego del octágono cuando hablemos de los ángulos, pero, por ahora, sigamos con los lados del octágono. Si alguien pregunta «¿cuántos lados tiene un octágono?» la respuesta es siempre la misma, pero si preguntan sobre la longitud de esos lados, no hay una sola respuesta que podamos dar. Cada lado de un octágono puede tener diferentes longitudes y seguir siendo un octágono; no hay restricciones con respecto a eso. Sin embargo, cuando todos los ángulos internos y las longitudes de los lados de un octágono son iguales, se le llama octágono regular y tiene propiedades especiales, como veremos en las siguientes secciones.

Ángulos de un octágono

Si nos fijamos en el origen de la palabra «Octágono», viene del griego que significa «ocho ángulos». El resultado de esto es un polígono compuesto por ocho vértices unidos por ocho líneas rectas. Los ocho lados son una consecuencia necesaria de tener ocho ángulos. De hecho, la definición estándar de octágono lo define como si tuviera ocho lados en lugar de ocho ángulos, pero ya sabes que ambas definiciones son prácticamente iguales. Entonces, la pregunta ¿qué es un octágono? se responde igualmente bien diciendo «un polígono de ocho lados» así como «un polígono con ocho ángulos».

Si bien los lados de un octágono pueden tener casi cualquier longitud, los ángulos del octágono están restringidos. No se impone una restricción a cada uno de los ángulos sino a la suma de ellos. Esta es una restricción geométrica ya que sería imposible unir los ocho lados sin seguir esta regla. Para cualquier octágono, la suma de todos sus ángulos internos es siempre 1080°.

Esto significa que un octágono regular tendrá ángulos internos de exactamente 1080 ° / 8 = 135 °. En nuestra opinión, un octágono regular es mucho más bonito que todos los demás octágonos. Más adelante siguiendo con el artículo, veremos cómo encontrar el área de un octágono y los trucos asociados con un octágono regular.

Área de un octágono

Cómo encontrar el área de un octágono regular

Si desea saber cómo encontrar el área de un octágono regular a mano, el procedimiento más sencillo es aplicar la fórmula estándar para el área de un polígono regular. La fórmula es la siguiente:

área de polígono regular = perímetro * apotema / 2,

Donde la apotema es la distancia del centro del polígono al punto medio de un lado. El perímetro se puede calcular de varias maneras: sumando la longitud de cada lado, multiplicando la longitud de un lado por el número de lados o, si te sientes flojo, también puedes usar la calculadora que encontrará a continuación.

Un truco para recordar esta fórmula es entender de dónde viene. Si miras la apotema, puedes ver que es la altura de un triángulo formado al tomar una línea desde los vértices del polígono / octágono hasta el centro. El triángulo resultante es lo que se llama triángulo isósceles y su área es:

área del triángulo = base * altura / 2

Tenga en cuenta que la base del triángulo es la longitud de un lado del octágono. Como hay tantos de estos triángulos como lados tiene el polígono (ocho para un octágono), debes multiplicar el área de este triángulo por el número de lados. Obtendrás el área total del octágono:

área del octágono = 8 * base * altura / 2 = perímetro * apotema / 2.

Estos trucos funcionan para cualquier polígono, por ejemplo, hexágonos y cualquier otro polígono que se te ocurra, siempre que sea regular. Además de usar triángulos, hay otros trucos que puedes usar para calcular el área de un octágono si no recuerdas la fórmula, pero no funcionarán para otros polígonos. Por ejemplo, si imagina una forma de octágono dentro de un cuadrado, puede ver que la diferencia es de solo cuatro triángulos rectángulos. «¿Cómo encontrar el área de un octágono regular con esta información?» usted podría preguntar. Bueno, es muy fácil:

  • 1. Calcule el área del cuadrado (el lado es 2 * apotema),
  • 2. Calcula los lados de los triángulos rectángulos usando la calculadora de triángulos 45 45 90 o el hecho de que son triángulos rectángulos isósceles, y usa la calculadora especial de triángulos rectángulos.
  • 3. Reste el área de un triángulo rectángulo cuatro veces del área del cuadrado,
  • 4. ¡Disfrute del éxito!

Alternativamente, puedes usar este truco. Si organiza los triángulos rectángulos correctamente, puede construir un cuadrado a partir de los cuatro. En este caso, la hipotenusa también es el lado del octágono. Luego, puede calcular el área del paralelogramo que acaba de hacer a partir de los cuatro triángulos rectángulos y restarlo del área del cuadrado grande.

Además de estos, puede ser aún más creativo. Por ejemplo, imagine que el octágono está compuesto por un rectángulo con dos trapezoides, uno encima y otro debajo del rectángulo. En este caso, será mucho más fácil calcular el área, ya que solo debes sumar el área del rectángulo más el doble del área de uno de los trapecios, ya que ambos trapecios son iguales.

Diagonales de un octágono regular

En total, un octágono tiene 20 diagonales; las más largas están en sus ejes de simetría y se encuentran en el punto central, O, que es también el origen de la simetría. Hay tres tipos de diagonales (observe la imagen de arriba en la sección «Área de un octágono» como referencia):

  • Diagonales cortas, por ejemplo, AG, FH o CE;
  • Diagonales medianas, como AF o BE (también llamadas la altura de un octágono);
  • Diagonales largas, por ejemplo, AE o BF.

Puede derivar la fórmula para cada uno de ellos con facilidad utilizando los principios básicos de la geometría. Aquí están las fórmulas para la longitud de las diagonales:

  • Diagonal corta d = a * √ (2 + √2)
  • Diagonal media e = a * (1 + √2)
  • Diagonal larga f = a * √ (4 + 2√2).

Circumradius e inradius

También deberíamos hablar sobre el circunradius y el inradius. La calculadora de área de octágono que dejaremos a continuación es capaz de encontrar los radios de los círculos circunscritos e inscritos. Puede notar que el circunradio es simplemente la mitad de la longitud de la diagonal más larga:

R = f / 2 = a / 2 * √ (4 + 2√2)

De manera similar, el radio interno es el mismo que el apotema, que es solo la mitad de la altura del octágono:

r = e / 2 = a / 2 * (1 + √2)

Forma de un octágono: Cómo dibujarlo

Puede parecer fácil dibujar un octágono al principio y, en principio, lo es. Simplemente dibuje cualquier forma con ocho lados rectos y listo. Pero normalmente, lo que la gente quiere dibujar no es un octágono, sino un octágono regular, ya que es la forma del octágono lo que me viene a la mente primero. Entonces, veamos cómo dibujar un octágono de la manera más regular y fácil posible.

La forma más precisa sería usar las herramientas de dibujo adecuadas y comenzar a dibujar la forma del octágono regular de un lado a la vez, uniéndolos con los correspondientes ángulos de octágono regular de 135°. Pero no todo el mundo tiene estas herramientas por ahí, por lo que no es un método muy práctico. Para obtener la forma de octágono que buscamos, lo mejor es empezar por su circunferencia, ya que se puede dibujar a mano (no recomendado) o con un vaso, taza o incluso una moneda.

Con la circunferencia dibujada, comience a dividir el área del círculo correspondiente en mitades. Primero, harás dos semicírculos. Luego, divídalos por la mitad nuevamente y obtenga cuatro cuartos de círculo. Divídalo a la mitad una vez más y terminará con ocho círculos. Ahora podemos tomar los puntos de división a lo largo de la circunferencia y unir los adyacentes con una línea recta. El resultado es un octágono perfectamente regular, menos el error humano que puede cometer al dibujar y dividir a la mitad.

Otro truco de cómo dibujar un octágono sería el que ya hemos discutido cuando aprendimos a encontrar el área de un octágono con cuadrados. Comience dibujando un cuadrado grande y luego ‘corte’ sus esquinas. El término matemático para este procedimiento es truncar el cuadrado. Si lo hace bien, obtendrá una forma de octágono regular. Este método no es tan preciso como el anterior, pero es más fácil de realizar sin ninguna herramienta.

Cómo usar la calculadora de octágono

Usar la calculadora de octágono es demasiado complicado, pero en caso de que alguien tenga alguna duda para completarlo, repasaremos las características y usos de esta calculadora a continuación. En primer lugar, deberíamos mirar los diferentes campos y lo que significan.

  • Longitud del lado: es la longitud de cada lado del octágono regular.
  • Perímetro: suma de la longitud de todos los lados del octágono
  • Área: Espacio encerrado por el propio octágono
  • Diagonal más larga: Longitud de la línea que une los 2 vértices más lejanos
  • Diagonal media: Longitud de la línea que une 2 vértices con 3 vértices entre ellos
  • Diagonal más corta: Longitud de la línea que une 2 vértices con 2 vértices entre ellos
  • Radio del círculo circunferencial: Radio de la circunferencia que contiene los 8 vértices del octágono regular
  • Radio de circunferencia: Radio de la circunferencia más pequeña que es tangente a los 8 lados

Ahora que sabe lo que significa cada uno de los parámetros, es hora de ver cómo usar la calculadora de octágono para obtener fácilmente los valores que está buscando. La mejor característica de esta calculadora es que solo requiere una entrada para calcular el resto de los valores. Esto es lo que hace que la calculadora de octágono sea la forma más rápida de calcular las propiedades de un octágono, por un margen significativo.

Enlace para ingresar a la calculadora: Presione aquí

Ejemplos de octágonos en la vida real

Hasta ahora hemos hablado sobre la definición de octágono y cómo dibujar un octágono. Hemos visto imágenes de octágonos e incluso hemos respondido a la pregunta (ahora obvia) de cuántos lados tiene un octágono. Ahora es el momento de ver cómo se utilizan los octágonos en la vida real. La forma de octágono es más fácil de fabricar y usar en diseños que un círculo, debido a los lados planos y los ángulos del mismo. A menudo podemos encontrar baldosas octagonales en pavimentos o en un baño. Incluso hay casas que tienen forma de octágono, entre las que destaca la famosa «Casa Octagonal».

La Octagon House es una casa construida en forma octogonal en Washington D.C. en los EE. UU. Fue construida para el coronel John Tayloe III. Esta es la razón por la que también se la conoce como Casa del Coronel John Tayloe III. Sigue la «tradición» estadounidense de nombrar los edificios según su forma, como lo hicieron con el Pentágono. Esta es la sede del Departamento de Defensa de los Estados Unidos y fue construido en forma de un pentágono regular.

La Octagon House tiene muchas características arquitectónicas interesantes, como una escalera de servicio triangular, una escalera ovalada más grande y la forma octogonal obvia del edificio. Además de estas características únicas, hay varias historias de fantasmas que rodean la casa, en parte porque el propietario fue una figura importante en la historia temprana de Estados Unidos.

Más usos de los octágonos en el mundo real

Como cualquier polígono regular, la forma de octágono resulta útil en muchas aplicaciones diferentes. Ya hemos hablado de hacer casas en forma octogonal y, siguiendo con los edificios, los octágonos son particularmente populares cuando se trata de pisos, principalmente en forma de baldosas octogonales. Usando un patrón diferente en cada tipo de azulejo, o usando diferentes colores, estas combinaciones le permitirían crear un piso hermoso para su cocina o baño.

Otro uso interesante de los octágonos es el interior de las cámaras fotográficas. En particular, el obturador que protege el sensor de la exposición a la luz cuando la cámara no está en uso. Esta contraventana, o apertura, siempre se realiza siguiendo una forma poligonal regular, incluida la forma del octágono.

Antes de terminar con estos ejemplos, queremos darte un consejo / truco rápido. Cuando vea una imagen de una fuente de luz brillante, es posible que haya notado que parece una estrella con un número diferente de brazos puntiagudos, según la cámara. Esta es la clave para averiguar si su cámara tiene una apertura de octágono o no: el número de brazos puntiagudos es exactamente igual al número de lados del polígono que forma la apertura. ¿Y cuántos lados tiene un octágono? ¡Exactamente! Por lo tanto, solo necesita buscar ‘formas de estrella’ con 8 brazos puntiagudos y sabrá que esta imagen se tomó con una apertura octagonal. Funciona siempre, es física y, más específicamente, un patrón de difracción.